熱組件的建模

如圖5所示，熱網(wǎng)絡(luò)可以被視為一系列集總電阻和電容模型的串聯(lián)，每個(gè)集總組件的時(shí)間常數(shù)τ = R × C，其中C為熱容，R為熱阻。只要這些時(shí)間常數(shù)彼此之間足夠分離，熱網(wǎng)絡(luò)電路可以類比為一個(gè)電氣RC電路，作為福斯特（Foster）梯形而非考爾（Cauer）梯形。福斯特梯形（式1）由每個(gè)電阻和電容并聯(lián)組成一個(gè)組件，然后這些組件串聯(lián)連接。福斯特梯形更容易對(duì)熱網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行建模，而后者則反映了熱容組件的物理連接。

其中，θ表示溫度變化，t表示時(shí)間，τ表示第 i個(gè)組件的時(shí)間常數(shù)。圖4展示了一個(gè)仿真示例，說明了由于芯片接觸差異而導(dǎo)致的瞬態(tài)響應(yīng)差異，而其他組件完全相同。上部曲線由于干接觸造成的不良接觸而具有更高的熱阻，下部曲線由于使用了熱膏，通過填充微觀空隙提供了更好的接觸，因此具有較低的熱阻。

更精確的瞬態(tài)響應(yīng)建模將有助于在達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)準(zhǔn)確識(shí)別每個(gè)電阻組件。對(duì)于時(shí)間上有更多重疊的更復(fù)雜系統(tǒng)，可以通過使用RC積分的分解方法來找到累積結(jié)構(gòu)函數(shù)。這種分解可以通過使用時(shí)間響應(yīng)函數(shù)等數(shù)學(xué)方法完成，例如參考文獻(xiàn) [7]。

圖5展示了模擬的時(shí)間響應(yīng)。該模型假設(shè)熱阻分別為：芯片 5.1 [K/W]、銅鉬載體 10.5 [K/W]、散熱器 8 [K/W]。對(duì)于干接觸（使用真空吸盤）的熱阻為 5 [K/W]，而帶有膏狀材料接觸的熱阻為 2.7 [K/W]，其中膏狀材料的界面熱阻為 0.1 [K/W]

亞衍射成像

上述納米特征要求溫度場(chǎng)的空間分辨率達(dá)到100納米以下，而可見光的波長大于360納米。根據(jù)瑞利分辨率準(zhǔn)則，兩個(gè)點(diǎn)狀物體可以在距離D（從點(diǎn)源的半徑）處被分辨，該距離D由下式給出 [8]：D=1.22λ/sin?(α)

這里，$N$ 是物鏡的f數(shù)，而 λ 是從表面反射回來的光的波長。$N$ 大約等于$1/(2\times \text{N.A.})$，其中 N.A. 是透鏡的數(shù)值孔徑。式 (2) 通常被稱為衍射極限。

我們正在測(cè)量一個(gè)比距離 $D$ 小的器件寬度。因此，這是一個(gè)亞衍射極限特征。這個(gè)系數(shù)來自于從點(diǎn)源發(fā)出的能量譜作為距離的函數(shù)。圖6中的艾里盤確定了能量譜在貝塞爾函數(shù)輪廓中為零的距離極限，這是以點(diǎn)源為中心的距離函數(shù) [9]。這個(gè)能量輪廓在艾里盤內(nèi)可以用高斯輪廓近似擬合，其系數(shù)為 2.44，這便于進(jìn)一步的數(shù)學(xué)處理。從點(diǎn)源沿距離的能量譜可以描述為：

E(r)=E0f(r)

其中：

• $E(r)$ 是距離點(diǎn)源?$r$?處的能量強(qiáng)度；
• E0??是最大能量強(qiáng)度；
• $f(r)$ 是隨距離?$r$?變化的函數(shù)，這里可以用高斯函數(shù)近似。

圖6展示了熱源與成像系統(tǒng)的相對(duì)位置。熱源的寬度遠(yuǎn)小于成像像素的尺寸以及艾里盤的直徑，這意味著需要使用亞衍射成像技術(shù)才能實(shí)現(xiàn)足夠的空間分辨率來準(zhǔn)確捕捉熱源的溫度分布。此外，加熱線與像素行的平行但不對(duì)齊意味著熱源的圖像可能會(huì)跨越多個(gè)像素，從而影響成像質(zhì)量。一般情況下，線熱源可以通過二維對(duì)稱性（均勻熱擴(kuò)散）來估算。在截面平面中，基底中的熱擴(kuò)散作為時(shí)間的函數(shù)可以用無限半空間中的Bessel函數(shù)來表示。我們可以根據(jù)Yovanovich的方法使用閉式解 [10]。因此，點(diǎn)源的集成，它們各自具有依賴于局部溫度的反射能量譜，最終成為光子能量譜。最后，這一強(qiáng)度譜被映射到成像器中的成像像素上，并進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算。通過將反射強(qiáng)度與無限分辨率下的強(qiáng)度進(jìn)行比較，最終可以找到熱反射系數(shù)。光學(xué)CCD圖像比較圖7展示了1微米和100納米線熱源裝置之間的光學(xué)CCD圖像比較。1微米線熱源清晰可見，而100納米線在530納米波長的照明下模糊且難以識(shí)別。數(shù)值熱模擬結(jié)果圖8展示了偏置條件下的數(shù)值熱模擬結(jié)果。圖8a顯示了使用有限元方法計(jì)算的真實(shí)溫度分布。圖8b是一個(gè)過濾后的結(jié)果，使用了艾里盤內(nèi)的高斯函數(shù)（系數(shù)為2.44，半徑為353納米）。這張圖像代表了我們期望通過特定光學(xué)系統(tǒng)獲得的圖像，并與圖8c中顯示的實(shí)際圖像進(jìn)行了比較。區(qū)域遠(yuǎn)小于芯片的尺寸，熱膨脹會(huì)在XY平面上以及沿深度方向引起顯著的位移，這會(huì)妨礙準(zhǔn)確獲取正確的熱信息。為此，使用了一個(gè)三維壓電階段控制器來穩(wěn)定視野中的聚焦位置。逐像素地獲取熱反射系數(shù)使得可以從目標(biāo)位置精確地重新檢測(cè)到光強(qiáng)度，參見 Ref [6]。